1. 拉格朗日插值法求二次插值多項(xiàng)式

在數(shù)值分析中，拉格朗日插值法是以法國(guó)十八世紀(jì)數(shù)學(xué)家約瑟夫·拉格朗日命名的一種多項(xiàng)式插值方法。

許多實(shí)際問題中都用函數(shù)來表示某種內(nèi)在聯(lián)系或規(guī)律，而不少函數(shù)都只能通過實(shí)驗(yàn)和觀測(cè)來了解。如對(duì)實(shí)踐中的某個(gè)物理量進(jìn)行觀測(cè)，在若干個(gè)不同的地方得到相應(yīng)的觀測(cè)值，拉格朗日插值法可以找到一個(gè)多項(xiàng)式，其恰好在各個(gè)觀測(cè)的點(diǎn)取到觀測(cè)到的值。

2. 二次拉格朗日插值多項(xiàng)式計(jì)算

拉格朗日點(diǎn)是三體意義下的一種平衡點(diǎn)，在拉格朗日點(diǎn)，第三體受到的另外兩個(gè)物體的引力合力為零。如果稍微偏離平衡點(diǎn)，第三體就會(huì)受到一個(gè)大概指向拉格朗日點(diǎn)方向的合力，類似于繞天體中心的萬有引力。從而可以得到環(huán)繞拉格朗日點(diǎn)的暈軌道。

3. 求三次拉格朗日插值多項(xiàng)式

拉格朗日插值公式

約瑟夫·拉格朗日發(fā)現(xiàn)的公式

拉格朗日插值公式線性插值也叫兩點(diǎn)插值，已知函數(shù)y = f (x)在給定互異點(diǎn)x0, x1上的值為y0= f (x0)，y1=f (x1)線性插值就是構(gòu)造一個(gè)一次多項(xiàng)式P1(x) = ax + b使它滿足條件P1 (x0) = y0 P1 (x1) = y1其幾何解釋就是一條直線，通過已知點(diǎn)A (x0, y0)，B(x1, y1)。

4. 求四次拉格朗日插值多項(xiàng)式

拉格朗日插值是一種多項(xiàng)式插值方法。是利用最小次數(shù)的多項(xiàng)式來構(gòu)建一條光滑的曲線，使曲線通過所有的已知點(diǎn)。

例如，已知如下3點(diǎn)的坐標(biāo):(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3).那么結(jié)果是:y=y1 L1+y2 L2+y3 L3,L1=(x-x2)(x-x3)/((x1-x2)(x1-x3)),L2=(x-x1)(x-x3)/((x2-x1)(x2-x3)),L3=(x-x1)(x-x2)/((x3-x1)(x3-x2)).

5. 拉格朗日插值法插值余項(xiàng)

拉格朗日插值法與牛頓插值法都是二種常用的簡(jiǎn)便的插值法。但牛頓法插值法則更為簡(jiǎn)便，與拉格朗日插值多項(xiàng)式相比較，它不僅克服了“增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)整個(gè)計(jì)算工作必須重新開始”的缺點(diǎn)，而且可以節(jié)省乘、除法運(yùn)算次數(shù)。

同時(shí)，在牛頓插值多項(xiàng)式中用到的差分與差商等概念，又與數(shù)值計(jì)算的其他方面有著密切的關(guān)系。所以！！

從運(yùn)算的角度來說牛頓插值法精確度高從數(shù)學(xué)理論上來說的話，我傾向于拉格朗日大神！！

話說拉格朗日當(dāng)初不搞天文，不搞物理，專弄數(shù)學(xué)，估計(jì)是數(shù)學(xué)歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家了，沒有之一。

6. 二次拉格朗日插值公式例題

拉格朗日乘數(shù)原理（即拉格朗日乘數(shù)法）由用來解決有約束極值的一種方法。

有約束極值：舉例說明，函數(shù) z=x^2+y^2 的極小值在x=y=0處取得，且其值為零。如果加上約束條件 x+y-1=0,那么在要求z的極小值的問題就叫做有約束極值問題。

上述問題可以通過消元來解決，例如消去x，則變成

z=(y-1)^2+y^2

則容易求解。

但如果約束條件是(x+1)^2+(y-1)^2-5=0,此時(shí)消元將會(huì)很繁，則須用拉格朗日乘數(shù)法，過程如下：

令

f=x^2+y^2+k*((y-1)^2+y^2)

令

f對(duì)x的偏導(dǎo)=0

f對(duì)y的偏導(dǎo)=0

f對(duì)k的偏導(dǎo)=0

解上述三個(gè)方程，即可得到可讓z取到極小值的x,y值。

拉格朗日乘數(shù)原理在工程中有廣泛的應(yīng)用，以上只簡(jiǎn)單地舉一例，更復(fù)雜的情況（多元函數(shù)，多限制條件）可參閱高等數(shù)學(xué)教材。

7. 拉格朗日插值法求二次函數(shù)

一．線性插值(一次插值） 已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[xk ,xk+1 ]的端點(diǎn)上的函數(shù)值yk =f(xk ), yk+1 = f(xk+1 ),求一個(gè)一次函數(shù)y=P1 (x)使得yk =f(xk ),yk+1 =f(xk+1 ), 其幾何意義是已知平面上兩點(diǎn)(xk ,yk ),(xk+1 ,yk+1 ),求一條直線過該已知兩點(diǎn)。

首先,插值法是：利用函數(shù)f (x)在某區(qū)間中插入若干點(diǎn)的函數(shù)值,作出適當(dāng)?shù)奶囟ê瘮?shù),在這些點(diǎn)上取已知值,在區(qū)間的其他點(diǎn)上用這特定函數(shù)的值作為函數(shù)f (x)的近似值,這種方法稱為插值法.

其目的便就是估算出其他點(diǎn)上的函數(shù)值.

而拉格朗日插值法就是一種插值法.

8. 用拉格朗日插值法和牛頓插值法求的三次多項(xiàng)式

牛頓插值多項(xiàng)式：(x0，f(x0))，(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，……，(xn，f(xn))。牛頓插值法相對(duì)于拉格朗日插值法具有承襲性的優(yōu)勢(shì)，即在增加額外的插值點(diǎn)時(shí)，可以利用之前的運(yùn)算結(jié)果以降低運(yùn)算量。

插值法利用函數(shù)f(x)在某區(qū)間中若干點(diǎn)的函數(shù)值，作出適當(dāng)?shù)奶囟ê瘮?shù)，在這些點(diǎn)上取已知值，在區(qū)間的其他點(diǎn)上用這特定函數(shù)的值作為函數(shù)f(x)的近似值。

如果這特定函數(shù)是多項(xiàng)式，就稱它為插值多項(xiàng)式。利用插值基函數(shù)很容易得到拉格朗日插值多項(xiàng)式，公式結(jié)構(gòu)緊湊，在理論分析中甚為方便，但當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增減時(shí)全部插值基函數(shù)均要隨之變化，整個(gè)公式也將發(fā)生變化，這在實(shí)際計(jì)算中是很不方便的，為了克服這一缺點(diǎn)，提出了牛頓插值。